Torus/2-Sphäre/Explizite Smash-Abbildung/Aufgabe

Es sei ${}T=S^{1}\times S^{1}$ der Torus und ${}S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ die Einheitssphäre.

a) Zeige, dass durch

$\varphi \colon S^{1}\times S^{1}\longrightarrow S^{2},\,{\begin{pmatrix}\alpha \\\beta \end{pmatrix}}\longmapsto {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}{\sqrt {2-2\sin \alpha }}\cos \beta \\\cos \alpha +\sin \beta \cos \alpha \\1+\sin \alpha -\sin \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{pmatrix}}$

eine stetige Abbildung gegeben ist.

b) Zeige, dass ${}\varphi$ surjektiv ist.

c) Beschreibe die Fasern von ${}\varphi$.

d) Erläutere die Abbildung ${}\varphi$ unter Verwendung einer Skizze.

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