Torus/2-Sphäre/Explizite Smash-Abbildung/Aufgabe/Lösung


a) Wir zeigen zunächst, dass die Abbildung in der Tat auf der Sphäre landet, d.h. wir müssen zeigen, dass die Summe der Quadrate der drei Einträge gleich ist. Ohne Berücksichtigung des Vorfaktors ist dies

c) Die Berechnung der Faser über dem Nordpol führt zu den Bedingungen

Daher muss jeweils ein Faktor gleich sein. Bei

sind bei beliebigem beide Bedingungen erfüllt, ebenso sind bei

und beliebigem beide Bedingungen erfüllt. Dabei ist wegen

bzw. wegen

die dritte Komponente gleich . Bei und muss

sein. Die verbleibende Möglichkeit ist und , doch dabei ist die dritte Komponente gleich .

d) Der Winkel definiert den Punkt

auf dem durch gegebenen Großreis. Der Nordpol und definieren den Halbierungspunkt

Der Bildpunkt wird auf dem Kreis mit Mittelpunkt platziert, der durch den Nordpol und verläuft und der ganz auf der Sphäre liegt. Daher muss auf der Ebene liegen, die durch

und gegeben sind. Um mit der trigonometrischen Parametrisierung von arbeiten zu können, braucht man eine Orthonormalbasis, daher arbeiten wir mit

Dies führt insgesamt auf