Totale Differenzierbarkeit/Linearform/Bilinearform/Textabschnitt

Zu ${}G\subseteq V$ offen und einer reellwertigen Funktion

f\colon G\longrightarrow \mathbb {R}

interessieren wir uns wie schon bei einem eindimensionalen Definitionsbereich für die Extrema, also Maxima und Minima, der Funktion, und inwiefern man dies anhand der Ableitungen (falls diese existieren) erkennen kann. Wenn eine solche Funktion total differenzierbar ist, so ist das totale Differential in einem Punkt eine lineare Abbildung von ${}V$ nach ${}{\mathbb {K} }$ . Für solche linearen Abbildungen gibt es einen eigenen Namen.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}V$ ein ${}K$ -Vektorraum. Eine lineare Abbildung

V\longrightarrow K

heißt eine Linearform auf ${}V$ .

Das totale Differential ${}\left(Df\right)_{P}$ zu ${}f\colon G\rightarrow \mathbb {R}$ ist also eine Linearform.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$ -Vektorraum. Dann heißt der Homomorphismenraum

{}{V}^{*}=\operatorname {Hom} _{K}{\left(V,K\right)}\,

der Dualraum zu ${}V$ .

Wenn ${}G\subseteq {\mathbb {K} }^{n}$ ist, so bilden die partiellen Ableitungen in einem Punkt ${}P\in G$ eine Matrix mit einer einzigen Zeile, nämlich

\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(P),\,\ldots ,\,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(P)\right),

die bei stetigen partiellen Ableitungen das totale Differential repräsentiert. Eine solche Matrix kann man aber ebenso gut als ein ${}n$ -Tupel in ${}{\mathbb {K} }$ und damit als einen Vektor über ${}{\mathbb {K} }^{n}$ auffassen. Dieser Zusammenhang zwischen Vektoren und Linearformen beruht auf dem Standardskalarprodukt des ${}{\mathbb {K} }^{n}$ , und lässt sich konzeptioneller mit Hilfe von Bilinearformen erfassen.