Totale Differenzierbarkeit/Mittelwertabschätzung/Banachscher Fixpunktsatz/Linear/Aufgabe/Lösung

Der ${}\mathbb {R} ^{n}$ ist nicht leer und vollständig. Mit je zwei Punkten enthält er auch die Verbindungsstrecke. Daher ist die Mittelwertabschätzung anwendbar und es ist

${}d(\varphi (Q),\varphi (P))=\Vert {\varphi (Q)-\varphi (P)}\Vert \leq c\Vert {Q-P}\Vert =c\cdot d(Q,P)\,.$

Wegen

${}c<1\,$

liegt eine starke Kontraktion vor.

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