Es soll eine Straße in der Ebene der Breite 
asphaltiert werden. Dabei wird die Straße durch den Verlauf des Mittelstreifen vorgegeben, der durch die Kurve
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![{\displaystyle [0,s]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,t\longmapsto \psi (t)={\begin{pmatrix}f(t)\\g(t)\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b43700ff2426cb634e3ca26c0a1b775e72ccd10b)
bestimmt ist. Dabei sei 
zweimal stetig differenzierbar
und
regulär.
Die Breite ist dabei senkrecht zum Mittelstreifen zu messen. Die zu asphaltierende Trasse wird dann durch die Abbildung
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![{\displaystyle \varphi \colon [0,s]\times [-a,a]\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(t,r)\longmapsto {\begin{pmatrix}f(t)\\g(t)\end{pmatrix}}+r{\frac {1}{\sqrt {f'(t)^{2}+g'(t)^{2}}}}{\begin{pmatrix}-g'(t)\\f'(t)\end{pmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baa08aed8a9237c0e1ef418d4dad0b9f610f2476)
parametrisiert. Wir nehmen an, dass diese Parametrisierung injektiv ist, was erfüllt ist, wenn die Mittelstreifenabbildung injektiv ist und die Straße nicht zu breit werden soll.
Die Jacobi-Matrix der Parametrisierung ist
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Die Determinante davon ist
Daher ist die Asphaltfläche nach
der Transformationsformel
und nach
Fakt
gleich
![{\displaystyle {}{\begin{aligned}&=\int _{[0,s]\times [-a,a]}\vert {{\sqrt {f'(t)^{2}+g'(t)^{2}}}+r{\frac {g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)}{f'(t)^{2}+g'(t)^{2}}}}\vert \,d\lambda ^{2}\\&=2a\int _{0}^{s}{\sqrt {f'(t)^{2}+g'(t)^{2}}}\,dt+(\int _{-a}^{a}r\,dr)(\int _{0}^{s}{\frac {g^{\prime \prime }(t)f'(t)-f^{\prime \prime }(t)g'(t)}{f'(t)^{2}+g'(t)^{2}}}\,dt)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3468c05ec9c1e27de8b5818b4db49e85a3a4d6b)
