Transformationsformel/Asphalt und Mittelstreifen/Bogenparametrisiert/Beispiel

Es soll eine Straße in der Ebene der Breite asphaltiert werden. Dabei wird die Straße durch den Verlauf des Mittelstreifen vorgegeben, der durch die Kurve

bestimmt ist. Dabei sei zweimal stetig differenzierbar und bogenparametrisiert, d.h. es sei , was bedeutet, dass die Mittelstreifenkurve mit normierter Geschwindigkeit durchlaufen wird. Die Breite ist dabei senkrecht zum Mittelstreifen zu messen. Die zu asphaltierende Trasse wird dann durch die Abbildung

parametrisiert. Wir nehmen an, dass diese Parametrisierung injektiv ist, was erfüllt ist, wenn die Mittelstreifenabbildung injektiv ist und die Straße nicht zu breit werden soll.

Die Jacobi-Matrix der Parametrisierung ist

Die Determinante davon ist

Daher ist die Asphaltfläche nach der Transformationsformel gleich

Wenn wir weiter annehmen, dass

ist (was bedeutet, dass die Straßenbreite nicht allzu groß ist), so ist dieses Integral nach Fakt geich

Dies bedeutet, dass die Asphaltfläche gleich der Mittelstreifenlänge mal der Straßenbreite ist.