Translationsinvariantes Maß/Echte Unterräume haben Maß 0/Fakt/Beweis

Beweis

 Es sei ein Untervektorraum der Dimension und nehmen wir an, dass ist. Es sei eine Basis von und

das davon erzeugte -dimensionale Parallelotop. Dies lässt sich durch endlich viele verschobene Einheitswürfel überpflastern und besitzt demnach ein endliches Maß. Die verschobenen Parallelotope

besitzen wegen der Translationsinvarianz alle dasselbe Maß und bilden eine Überpflasterung von . Da es abzählbar viele sind, muss gelten. Es sei nun eine Ergänzung der Basis zu einer Basis von , und sei

das zugehörige -dimensionale Parallelotop. Für dieses ist . Wir betrachten nun die abzählbar unendlich vielen Parallelotope

Diese liegen alle innerhalb von und besitzen wegen der Translationsinvarianz alle das gleiche Maß wie . Ferner sind sie paarweise disjunkt, da andernfalls ein nichttriviales Vielfaches von zu gehören würde. Aus

folgt , ein Widerspruch.