Es sei
ein
Untervektorraum
der Dimension
und nehmen wir an, dass
ist. Es sei
eine
Basis
von
und
-
![{\displaystyle {}P={\left\{a_{1}u_{1}+\cdots +a_{d}u_{d}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bafc0c098a843e755696ce314cfd0bfe1474a19c)
das davon erzeugte
-dimensionale
Parallelotop.
Dies lässt sich durch endlich viele verschobene Einheitswürfel überpflastern und besitzt demnach ein endliches Maß. Die verschobenen Parallelotope
-
besitzen wegen der Translationsinvarianz alle dasselbe Maß und bilden eine Überpflasterung von
. Da es abzählbar viele sind, muss
gelten. Es sei nun
eine
Ergänzung
der Basis zu einer Basis von
, und sei
-
![{\displaystyle {}R={\left\{a_{1}u_{1}+\cdots +a_{d}u_{d}+\cdots +a_{n}u_{n}\mid a_{i}\in [0,1]\right\}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/466ce63ce336c64c7d66fb9e6c7310d53d78a758)
das zugehörige
-dimensionale Parallelotop. Für dieses ist
-

Wir betrachten nun die abzählbar unendlich vielen Parallelotope
-
Diese liegen alle innerhalb von
und besitzen wegen der Translationsinvarianz alle das gleiche Maß wie
. Ferner sind sie paarweise disjunkt, da andernfalls ein nichttriviales Vielfaches von
zu
gehören würde. Aus
-
![{\displaystyle {}\sum _{q\in [0,1]\cap \mathbb {Q} }\ \mu (P_{q})=\mu {\left(\bigcup _{q\in [0,1]\cap \mathbb {Q} }P_{q}\right)}\leq \mu (R)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/278154480162655145a6e2b8eda2d8fc2d2274c7)
folgt
, ein Widerspruch.