Uneigentliches Integral/Approximation durch stückweise Oberintegrale/Aufgabe

Es sei ${}f\colon \mathbb {R} _{\geq 0}\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ eine stetige Funktion derart, dass das uneigentliche Integral ${}\int _{0}^{\infty }f(t)dt$ existiert.

1. Zeige, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ obere Treppenfunktionen ${}T_{n}$ zu ${}f$ auf ${}[n-1,n]$ derart gibt, dass die Gesamtdifferenz

   ${}\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}\int _{n-1}^{n}T_{n}(t)dt-\int _{0}^{\infty }f(t)dt\leq \epsilon \,$

   erfüllt.

2. Man gebe ein Beispiel einer solchen Funktion ${}f$ derart, dass es keine solche Approximation mit oberen Treppenfunktionen gibt, wenn man zusätzlich fordert, dass sie zu der äquidistanten Unterteilung der Intervalle ${}[n-1,n]$ zu einem festen Stammbruch ${}{\frac {1}{k}}$ (unabhängig von ${}n$) gehören.

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