Untergruppen von Z/Zyklisch mit Division mit Rest/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}H\subseteq \mathbb {Z}$ eine Untergruppe. Bei ${}H=0$ kann man ${}d=0$ nehmen, so dass wir voraussetzen dürfen, dass ${}H$ neben ${}0$ noch mindestens ein weiteres Element ${}x$ enthält. Wenn ${}x$ negativ ist, so muss die Untergruppe ${}H$ auch das Negative davon, also ${}-x$ enthalten, welches positiv ist. D.h. ${}H$ enthält auch positive Zahlen. Es sei nun ${}d$ die kleinste positive Zahl aus ${}H$. Wir behaupten ${}H=\mathbb {Z} d$. Dabei ist die Inklusion ${}\mathbb {Z} d\subseteq H$ klar, da mit ${}d$ alle (positiven und negativen) Vielfache von ${}d$ dazugehören müssen. Für die umgekehrte Inklusion sei ${}h\in H$ beliebig. Nach Division mit Rest gilt

$h=qd+r{\text{ mit }}0\leq r<d.$

Wegen $h\in H$ und $qd\in H$ ist auch ${}r=h-qd\in H$. Nach der Wahl von ${}d$ muss wegen ${}r<d$ gelten: ${}r=0$. Dies bedeutet ${}h=qd$ und damit ${}h\in \mathbb {Z} d$, also ${}H\subseteq \mathbb {Z} d$.

Zur gelösten Aufgabe