Unterring/Einführung/Textabschnitt

Wir haben die Kette von Unterringen

${}\mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq {\mathbb {C} }\,$

im Sinne der folgenden Definition.

Definition

Eine Teilmenge ${}S\subseteq R$ eines Ringes nennt man einen Unterring, wenn sowohl ${}(S,+,0)$ eine Untergruppe von ${}(R,+,0)$ als auch ${}(S,\cdot ,1)$ ein Untermonoid von ${}(R,\cdot ,1)$ ist.

Diese Bedingung besagt insbesondere, dass sich die Addition und die Multiplikation von ${}R$ auf ${}S$ einschränken lässt. Ein Unterring ist selbst ein Ring. Zum Nachweis, dass eine gegebene Teilmenge ${}S\subseteq R$ ein Unterring ist, hat man Folgendes zu zeigen.

1. ${}0,1\in S$.
2. ${}S$ ist abgeschlossen unter der Addition und der Multiplikation.
3. Mit ${}f\in S$ ist auch ${}-f\in S$.

Die natürlichen Zahlen ${}\mathbb {N}$ erfüllen in ${}\mathbb {Z}$ die ersten beiden Bedingungen, aber nicht die dritte. Die Menge aller geraden Zahlen erfüllen alle Bedingungen außer der, dass ${}1$ dazugehört. Ebenso ist ${}\{0\}$ kein Unterring, da darin die ${}1$ fehlt (obwohl im Nullring für sich betrachtet ${}0=1$ ist, das ist aber nicht die ${}1$ von ${}\mathbb {Z}$). Die Menge ${}\{-1,0,1\}$ erfüllt die erste und die dritte Bedingung und ist abgeschlossen unter der Multiplikation, aber nicht unter der Addition. Die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ haben überhaupt nur sich selbst als Unterring.

Zu einer Teilmenge ${}M\subseteq R$ eines Ringes definiert man den durch ${}M$ erzeugten Unterring als den kleinsten Unterring von ${}R$, der ${}M$ umfasst. Wir bezeichnen ihn mit ${}\mathbb {Z} [M]$, da ja jeder Unterring automatisch alle Vielfachen der ${}1$ enthalten muss. Dieser kleinste Unterring ist der Durchschnitt über alle Unterringe, die ${}M$ umfassen. Er besteht aus allen Termen, die man mit den Elementen aus ${}M$ und ihren Negativen mit Addition und Multiplikation erhalten kann.