Untervarietät/Lokal durch Funktionen/Schnittverhalten/Fakt/Beweis

Beweis

Ohne Einschränkung sei ${}Z=V({\mathfrak {q}})$ ebenfalls irreduzibel und entspreche einem Primideal ${}{\mathfrak {q}}\subseteq R$ der Höhe ${}s$. Es sei ${}W=V({\mathfrak {r}})$ mit einem Primideal ${}{\mathfrak {r}}\subseteq R$ der Höhe ${}m$, das minimal über ${}{\mathfrak {p}}+{\mathfrak {q}}$ ist. Wegen Fakt ist ${}m\leq r+s$ zu zeigen. In ${}R_{\mathfrak {r}}/{\mathfrak {q}}$ ist ${}{\mathfrak {r}}$ minimal über

${}{\mathfrak {q}}=\operatorname {rad} {\left(f_{1},\ldots ,f_{r}\right)}\,.$

Nach Fakt ist dort die Höhe von ${}{\mathfrak {r}}$ höchstens ${}r$. Zurückübersetzt nach ${}R_{\mathfrak {r}}$ bedeutet dies

${}\operatorname {ht} {\left({\mathfrak {r}}\right)}\leq r+s\,.$

Zur bewiesenen Aussage