Untervarietät/Lokal durch Funktionen/Schnittverhalten/Fakt

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper, es sei ${}V$ eine Varietät über ${}K$ und ${}Y,Z\subseteq V$ affin-algebraische Teilmengen mit ${}Y$ irreduzibel. Es sei ${}P\in Y\cap Z\subseteq V$ ein Punkt und ${}{\mathfrak {p}}$ das zugehörige Primideal zu ${}Y$ im lokalen Ring ${}R={\mathcal {O}}_{V,P}$. Es sei ${}r$ die Höhe von ${}{\mathfrak {p}}$ und es gebe ${}h$ Elemente ${}f_{1},\ldots ,f_{r}\in R$ mit

${}\operatorname {rad} {\left(f_{1},\ldots ,f_{r}\right)}={\mathfrak {p}}\,.$

Dann erfüllt jede Komponente ${}W$ des Durchschnittes ${}Y\cap Z$ die Dimensionseigenschaft

${}\operatorname {dim} {\left(W\right)}\geq \operatorname {dim} {\left(Y\right)}+\operatorname {dim} {\left(Z\right)}-\operatorname {dim} {\left(V\right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen