Untervektorräume/Gleiche Dimension/Gemeinsames direktes Komplement/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Aussage durch Induktion über die Kodimension von ${}U_{1}$ (die nach Voraussetzung mit der Kodimension von ${}U_{2}$ übereinstimmt) in ${}V$. Wenn diese ${}0$ ist, so ist

${}U_{1}=U_{2}=V\,$

und der Nullraum ist das gemeinsame direkte Komplement. Es sei nun die Kodimension positiv und die Aussage für kleinere Kodimension schon bewiesen. Bei ${}U_{1}=U_{2}$ ist die Behauptung klar. Es sei also ${}U_{1}\neq U_{2}$. Nach Aufgabe ist

${}U_{1}\cup U_{2}\neq V\,$

und daher gibt es einen Vektor ${}w\in V$ mit ${}w\notin U_{1}\cup U_{2}$. Dann besitzen ${}U_{1}'=U_{1}\oplus Kw$ und ${}U_{2}'=U_{2}\oplus Kw$

eine kleinere gemeinsame Kodimension, sodass wir darauf die Induktionsvoraussetzung anwenden können. Es sei ${}W$ ein gemeinsames direktes Komplement von ${}U_{1}'$ und von ${}U_{2}'$. Dann ist ${}W\oplus Kw$ ein gemeinsames direktes Komplement von ${}U_{1}$ und von ${}U_{2}$.

Zur gelösten Aufgabe