Untervektorraum/Realisierung als Kern einer linearen Abbildung/Aufgabe/Lösung

Der Unterraum ${}U$ ist ebenfalls endlichdimensional. Es sei ${}u_{1},u_{2},\ldots ,u_{m}$ eine Basis von ${}U$, die wir durch ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ zu einer Basis von ${}V$ ergänzen können. Es sei ${}W=K^{n}$. Wir betrachten die lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow K^{n},$

die durch

$\varphi (u_{i})=0{\text{ für }}i=1,\ldots ,m$

und

$\varphi (v_{j})=e_{j}{\text{ für }}j=1,\ldots ,n$

festgelegt ist (dabei sei ${}e_{j}$ der ${}j$-te Standardvektor des ${}K^{n}$), was nach dem Basisfestlegungssatz möglich ist. Wegen

${}\varphi {\left(\sum _{j=1}^{n}t_{j}v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}t_{j}\varphi {\left(v_{j}\right)}=\sum _{j=1}^{n}t_{j}e_{j}\,$

ist die Abbildung surjektiv. Offenbar ist ${}U\subseteq \operatorname {kern} \varphi$. Es sei

$v=\sum _{i=1}^{m}s_{i}u_{i}+\sum _{j=1}^{n}t_{j}v_{j}\in \operatorname {kern} \varphi .$

Dann ist

${}0=\varphi (v)=\sum _{j=1}^{n}t_{j}e_{j}\,.$

Da die Standardbasis vorliegt, sind die ${}t_{j}=0$ und daher ist ${}v\in U$. Also ist ${}U=\operatorname {kern} \varphi$.

Zur gelösten Aufgabe