Varietäten/Glatte Punkte/Produkt/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}P\in V\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$ wobei ${}V$ durch die Polynome ${}f_{1},\ldots ,f_{r}$ auf dem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{m}}$ beschrieben werde, deren Jacobimatrix im Punkt ${}P$ einen Rang ${}\geq m-\operatorname {dim} V$ besitze. Entsprechend sei ${}Q\in W\subseteq {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ wobei ${}W$ durch die Polynome ${}g_{1},\ldots ,g_{s}$ auf dem affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}$ beschrieben werde, deren Jacobimatrix im Punkt ${}Q$ einen Rang ${}\geq n-\operatorname {dim} {\left(W\right)}$ besitze. Dann beschreiben die Polynome

$(f,g)=(f_{1},\ldots ,f_{r},g_{1},\ldots ,g_{s})\colon {{\mathbb {A} }_{K}^{m}}\times {{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{K}^{1}$

(wobei die ${}f_{i}$ nur von den vorderen und die ${}g_{j}$ nur von den hinteren Variablen abhängen) die Produktvarietät ${}V\times W$. Die Jacobimatrix zu ${}(f,g)$ ist eine Blockmatrix, deshalb ist ihr Rang gleich der Summe der Einzelränge und insbesondere ${}\geq m-\operatorname {dim} {\left(V\right)}+n-\operatorname {dim} {\left(W\right)}$. Die Dimension von ${}V\times W$ ist nach Fakt gleich ${}\operatorname {dim} {\left(V\right)}+\operatorname {dim} {\left(W\right)}$, daher erfüllen ${}(f_{1},\ldots ,f_{r},g_{1},\ldots ,g_{s})$ insgesamt die Rangbedingung und ${}(P,Q)$ ist ein glatter Punkt.

Zur bewiesenen Aussage