Vektorbündel/Frobenius-Wiederholung/Fermatkurve vom Grad 2d/Beispiel

Es sei ${}d\geq 2$ und sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p$, die die Kongruenzbedingung ${}p=-1\,\operatorname {mod} \,2d$ erfüllt. Dann ist auf der Fermat-Kurve

$X={\rm {Proj}}\,K[U,V,W]/(U^{2d}+V^{2d}-W^{2d})$

das Syzygienbündel ${}{\rm {Syz}}(U^{2},V^{2},W^{2})(3)$ zu seinem ersten Frobenius-Rückzug, also zu ${}F^{*}({\rm {Syz}}(U^{2},V^{2},W^{2})(3))={\rm {Syz}}(U^{2p},V^{2p},W^{2p})(3p)$ isomorph (aber selbst nicht trivial). Daher ist es nach Fakt auch étale trivialisierbar. Es gibt auch unendlich viele Charakteristiken, für die das entsprechende Bündel nicht stark semistabil und nicht étale trivialisierbar ist. Daher ist das Bündel auch in Charakteristik ${}0$ nicht étale trivialisierbar.