Vektorfeld/Zugehörige Derivation/Invariante Funktion und Kern/Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und

$F\colon V\longrightarrow V$

ein stetig differenzierbares Vektorfeld. Es sei ${}C=C^{\infty }(V,\mathbb {R} )$ die Menge der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen von ${}V$ nach ${}\mathbb {R}$. Wir betrachten die Abbildung

$\delta =\delta _{F}\colon C\longrightarrow C,\,g\longmapsto \delta (g),$

mit

${}(\delta (g))(P)={\left(D_{F(P)}g\right)}{\left(P\right)}\,.$

Man erhält also aus der Funktion ${}g$ die neue Funktion ${}\delta (g)$, indem man an einem Punkt ${}P\in V$ die Richtungsableitung der Funktion ${}g$ in Richtung ${}F(P)$ berechnet. Zeige, dass für ${}g\in C$ folgende Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es ist ${}\delta (g)=0$.
2. Das Bild einer jeden Lösung zur Differentialgleichung ${}y'=F(y)$ liegt in einer Faser von ${}g$.

Zur Lösung, Alternative Lösung erstellen