Vektorfeld/Zugehörige Derivation/Invariante Funktion und Kern/Aufgabe/Lösung

Von (1) nach (2). Es sei

$v\colon I\longrightarrow V,\,t\longmapsto v(t),$

eine auf einem Intervall ${}I$ definierte Lösungskurve zur Differentialgleichung ${}v'=F(v)$, d.h. es gilt ${}v'(t)=F(v(t))$ für alle ${}t\in I$. Wir betrachten die Ableitung der Verknüpfung

$h\circ v\colon I\longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto h(v(t)).$

Nach der Kettenregel ist

${}{\begin{aligned}(h\circ v)'(t)&={\left(Dh\right)}_{v(t)}{\left(v'(t)\right)}\\&={\left(Dh\right)}_{v(t)}{\left(F(v(t))\right)}\\&={\left(D_{F(v(t))}h\right)}{\left(v(t)\right)}\\&=(\delta (h))(v(t))\\&=0.\end{aligned}}$

Also ist die Ableitung von ${}h\circ v$ gleich ${}0$ für alle ${}t\in I$ und daher ist ${}h\circ v$ konstant.

Von (2) nach (1). Es sei ${}P\in V$ fixiert. Nach dem Satz von Picard-Lindelöf gibt es zum Anfangswertproblem ${}v'=F(v)$ und ${}v(0)=P$ eine (eindeutige) Lösung, also eine differenzierbare Abbildung

$\gamma \colon I\longrightarrow V$

mit ${}\gamma '(t)=F(\gamma (t))$ und ${}\gamma (0)=P$ (und ${}0\in I$). Nach Voraussetzung liegt das Bild von ${}\gamma$ ganz in einer Faser von ${}g$, d.h. die zusammengesetzte Abbildung

$g\circ \gamma \longrightarrow ,\,I\longmapsto \mathbb {R}$

ist konstant. Daher ist die Ableitung davon gleich ${}0$ und somit ist

${}{\left(Dg\right)}_{\gamma (t)}{\left(\gamma '(t)\right)}={\left(g\circ \gamma \right)}'(t)=0\,$

für ${}t\in I$. Für ${}t=0$ bedeutet dies

${}(\delta (g))(P)={\left(Dg\right)}_{P}{\left(F(P)\right)}={\left(Dg\right)}_{\gamma (0)}{\left(\gamma '(0)\right)}=0\,.$

Zur gelösten Aufgabe