Vektorräume/Lineare Abbildung/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Direkt/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V,Q$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung und ${}\psi \colon V\rightarrow Q$ eine surjektive lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass

${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

ist. Zeige, dass es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow W$

derart gibt, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$

gilt.

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