Vektorräume/Lineare Abbildung/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Direkt/Aufgabe/Lösung


Es kann maximal nur eine solche Abbildung

mit geben, da es zu jedem ein mit gibt. Somit muss

gelten. Es sei eine Basis von . Für zwei Vektoren aus der Urbildmenge zu einem unter ist die Differenz ein Element von . Wegen der Bedingung werden alle Elemente aus einer solchen Urbildmenge unter auf ein einziges Element in abgebildet. Es sei ein Urbild von . Wir setzen

und betrachten die dadurch mit dem Festlegungssatz gegebene lineare Abbildung

Für jedes ist

und somit ist mit einem . Daher ist