Vektorräume/Lineare Abbildung/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt

Der Homomorphiesatz (Vektorräume)

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V,Q$ und ${}W$ Vektorräume über ${}K$. Es sei ${}\varphi \colon V\rightarrow W$ eine lineare Abbildung und ${}\psi \colon V\rightarrow Q$ eine surjektive lineare Abbildung. Es sei vorausgesetzt, dass

${}\operatorname {kern} \psi \subseteq \operatorname {kern} \varphi \,$

ist.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

${\tilde {\varphi }}\colon Q\longrightarrow W$

derart, dass ${}\varphi ={\tilde {\varphi }}\circ \psi$ ist.

Mit anderen Worten: das Diagramm

${\begin{matrix}V&{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}&W&\\\!\!\!\!\!\psi \downarrow &\nearrow &\\Q&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

ist kommutativ.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen