Vektorräume/Lineare Abbildung/Homomorphiesatz/Surjektiv und Kern/Fakt/Beweis

Beweis

Die Existenz- und Eindeutigkeitsaussage ergibt sich aus Fakt. Es ist also nur noch zu zeigen, dass der eindeutig bestimmte Gruppenhomomorphismus ${}{\tilde {\varphi }}$ auch mit der Skalarmultiplikation verträglich ist.
Es sei ${}u\in Q$ mit einem Urbild ${}v\in V$ und sei ${}\lambda \in K$. Dann ist ${}\lambda v$ ein Urbild von ${}\lambda u$ und daher ist

${}{\tilde {\varphi }}(\lambda u)=\varphi (\lambda v)=\lambda \varphi (v)=\lambda {\tilde {\varphi }}(u)\,,$

also ist ${}{\tilde {\varphi }}$ auch mit der Skalarmultiplikation verträglich.

Zur bewiesenen Aussage