Vektorraum/Basis/Indexzerlegung/Direkte Summenzerlegung/Beispiel

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$. Es sei

${}\{1,\ldots ,n\}=I_{1}\uplus \ldots \uplus I_{k}\,$

eine disjunkte Zerlegung der Indexmenge. Es seien

${}U_{j}=\langle v_{i},\,i\in I_{j}\rangle \,$

die durch die Teilfamilien erzeugten Untervektorräume. Dann ist

${}V=U_{1}\oplus \cdots \oplus U_{k}\,.$

Der Extremfall ${}I_{j}=\{j\}$ ergibt die direkte Summe

${}V=Kv_{1}\oplus \cdots \oplus Kv_{n}\,$

mit eindimensionalen Untervektorräumen.