Wir zeigen zuerst, dass die neue Familie ein Erzeugendensystem ist. Zunächst kann man wegen
-
und
den Vektor
als
-
schreiben. Es sei nun beliebig vorgegeben. Dann kann man schreiben
Zum Nachweis der
linearen Unabhängigkeit nehmen wir zwecks Notationsvereinfachung an. Es sei
-
eine Darstellung der Null. Dann ist
-
Aus der linearen Unabhängigkeit der Ausgangsfamilie folgt insbesondere
, und wegen
ergibt sich
. Deshalb ist
und daher gilt
für alle
.