Vektorraum/Endliche Familie/Eigenschaften der Einsetzungsabbildung/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Familie von Vektoren in ${}V$. Zeige, dass für die Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow V,\,(s_{1},\ldots ,s_{n})\longmapsto \sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i},$

die folgenden Beziehungen gelten.

1. ${}\varphi$ ist injektiv genau dann, wenn ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ linear unabhängig sind.
2. ${}\varphi$ ist surjektiv genau dann, wenn ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ ein Erzeugendensystem von ${}V$ ist.
3. ${}\varphi$ ist bijektiv genau dann, wenn ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis ist.

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