Vektorraum/Fahne/Überführung/Aufgabe/Lösung

Aufgrund des Basisergänzungssatzes gibt es eine Basis

$v_{1},\ldots ,v_{n}$

von ${}V$ mit

${}V_{i}=\langle v_{1},\ldots ,v_{i}\rangle \,$

für alle ${}i$. Entsprechend gibt es eine Basis

$w_{1},\ldots ,w_{n}$

von ${}W$ mit

${}W_{i}=\langle w_{1},\ldots ,w_{i}\rangle \,$

für alle ${}i$. Aufgrund des Basisfestlegungssatzes gibt es eine lineare Abbildung

$\varphi \colon V\longrightarrow W$

mit ${}\varphi (v_{i})=w_{i}$. Diese ist surjektiv, da das Bild ein Erzeugendensystem enthält, und somit bijektiv, da die Räume gleichdimensional sind. Nach Konstruktion gilt

${}\varphi (V_{i})\subseteq W_{i}\,,$

wobei wegen der Dimension hier Gleichheit gilt.

Zur gelösten Aufgabe