Vektorraum/I nach K/Fast alle null/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, sei ${}I$ eine Indexmenge, und ${}K^{I}=\operatorname {Abb} \,{\left(I,K\right)}$ der zugehörige Vektorraum.

1. Zeige, dass

   ${}E={\left\{f\in K^{I}\mid f(i)=0{\text{ für alle }}i\in I{\text{ bis auf endlich viele Ausnahmen}}\right\}}\,$

   ein Untervektorraum von ${}K^{I}$ ist.

2. Zu jedem ${}i\in I$ sei ${}e_{i}\in K^{I}$ durch

   ${}e_{i}(j)={\begin{cases}1,{\text{ falls }}j=i\,,\\0{\text{ sonst}}\,,\end{cases}}\,$

   gegeben. Man zeige, dass sich jedes Element ${}f\in E$ eindeutig als Linearkombination der Familie ${}e_{i}$, ${}i\in I$, darstellen lässt.

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