Vektorraum/K/Halbnorm/Raum mit Halbmetrik/Fakt/Beweis

Beweis
  1. Es ist .
  2. Es ist
  3. Für beliebiges ist nach der Definition einer Halbnorm

Zum Nachweis der Stetigkeit der Addition sei fixiert und vorgegeben. Es sei

hierbei ist die Produktmenge links eine offene Umgebung von . Hier gilt

Zum Nachweis der Stetigkeit der Skalarmultiplikation sei fixiert und vorgegeben, das wir als annehmen. Es sei und

Es sei . Dann ist