- Es ist
.
- Es ist
- Für beliebiges
ist nach der Definition einer Halbnorm
Zum Nachweis der Stetigkeit der Addition sei
fixiert und
vorgegeben. Es sei
-
hierbei ist die Produktmenge links eine offene Umgebung von . Hier gilt
Zum Nachweis der Stetigkeit der Skalarmultiplikation sei
fixiert und
vorgegeben, das wir als annehmen. Es sei
und
-
Es sei
.
Dann ist