Vektorraum/K/Halbnorm/Restklassenraum/Fakt/Beweis
Beweis
- Folgt direkt aus der Verträglichkeit der Halbnorm mit der Skalarmultiplikation und aus der Dreiecksabschätzung.
- Für
ist
und ebenso
also ist
Die Halbnorm induziert also eine wohldefinierte Abbildung auf dem Restklassenraum . Dabei bleiben alle Eigenschaften einer Halbnorm erhalten. Ferner gilt genau dann, wenn ist, also in . Daher liegt eine Norm vor.