Vektorraum/Satz von Hamel/Fakt/Beweis

Beweis

Sei ein Vektorraum über einem Körper . Es sei

Die leere Menge gehört zu , also ist nicht leer. Es sei eine total geordnete Teilmenge. Wir behaupten, dass

ebenfalls linear unabhängig ist und daher eine obere Schranke von in bildet. Andernfalls gäbe es nämlich eine endliche Teilmenge , deren Elemente linear abhängig sind, und es gäbe auch ein , das umfasst und daher selbst linear abhängig wäre. Nach dem Lemma von Zorn besitzt also maximale Elemente, d.h. es gibt eine Teilmenge , die linear unabhängig ist und derart, dass es keine echt größere linear unabhängige Teilmenge von gibt. Wir behaupten, dass auch ein Erzeugendensystem von ist. Sei dazu . Bei sind wir fertig. Bei ist linear abhängig, d.h. es gibt eine Linearkombination

mit Elementen und Koeffizienten , die nicht alle sind. Dabei kann nicht sein, da sonst eine lineare Abhängigkeit zwischen Elementen aus vorliegen würde. Also kann man als Linearkombination der ausdrücken.