Vektorraum/Skalarprodukt/Vollständiger Untervektorraum/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei ${}T\subseteq V$ eine nichtleere konvexe vollständige Teilmenge.

Dann enthält ${}T$ einen eindeutigen Punkt ${}P\in T$, indem die Norm ${}\Vert {P}\Vert$ (unter allen Punkten aus ${}T$) das Minimum annimmt.

Beweis

Es sei ${}\delta$ das Infimum von

${}{\left\{\Vert {Q}\Vert \mid Q\in T\right\}}\subseteq \mathbb {R} _{\geq 0}\,.$

Mit Hilfe von Aufgabe erhält man für Punkte ${}P,Q\in T$ die Identität

${}\Vert {P-Q}\Vert ^{2}=2\Vert {P}\Vert ^{2}+2\Vert {Q}\Vert ^{2}-4\Vert {\frac {P+Q}{2}}\Vert ^{2}\,.$

Wegen der Konvexität gilt ${}{\frac {P+Q}{2}}\in T$ und daher ist

${}\Vert {P-Q}\Vert ^{2}\leq 2\Vert {P}\Vert ^{2}+2\Vert {Q}\Vert ^{2}-4\delta ^{2}\,.$

Es seien nun ${}P,Q$ Punkte, in denen das Infimum angenommen wird. Dann folgt aus

${}\Vert {P}\Vert =\Vert {Q}\Vert =\delta \,$

sofort ${}\Vert {P-Q}\Vert =0$ und damit ${}P=Q$, was die Eindeutigkeit bedeutet.

Da das Infimum einer nichtleeren Teilmenge von ${}\mathbb {R}$ durch eine Folge beliebig nah angenähert weden kann, gibt es eine Folge ${}Q_{n}\in T$ derart, dass ${}\Vert {Q_{n}}\Vert$ gegen ${}\delta$ konvergiert. Die obige Abschätzung ergibt für Folgenglieder ${}Q_{n},Q_{m}$ die Abschätzung

${}\Vert {Q_{n}-Q_{m}}\Vert ^{2}\leq 2\Vert {Q_{n}}\Vert ^{2}+2\Vert {Q_{m}}\Vert ^{2}-4\delta ^{2}\,.$

Da ${}\Vert {Q_{n}}\Vert$ gegen ${}\delta$ konvergiert, folgt daraus, dass die Differenz links beliebig klein wird. Dies bedeutet, dass ${}Q_{n}$ eine Cauchy-Folge ist. Wegen der Vollständigkeit von ${}T$ konvergiert die Folge gegen ein ${}P\in T$.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei ${}U\subseteq V$ ein vollständiger Untervektorraum.

Dann gibt es zu jedem Punkt ${}Q\in V$ einen eindeutigen Punkt ${}P\in U$, für den der Abstand von ${}Q$ zu Punkten aus ${}U$ minimal wird.

Beweis

Wir verschieben die Situation um ${}-Q$ und haben dann einen vollständigen (da die Verschiebung stetig ist) affinen Unterraum ${}U-Q$ und betrachten den Abstand zum Nullpunkt. Der Untervektorraum ist konvex und dies überträgt sich auf den verschobenen Untervektorraum. Daher folgt die Aussage aus Fakt.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei ${}U\subseteq V$ ein vollständiger Untervektorraum.

Dann gibt es zu jedem ${}v\in V$ eine eindeutige Darstellung

${}v=u+w\,$

mit ${}u\in U$ und ${}w\in U^{\perp }$.

Beweis

Aus zwei solchen Darstellungen

${}v=u+w=u'+w'\,$

mit den geforderten Eigenschaften folgt

${}0=u-u'+w-w'={\tilde {u}}+{\tilde {w}}\,,$

wobei die beiden Summanden ${}{\tilde {u}}$ und ${}{\tilde {w}}=-{\tilde {u}}$ orthogonal zueinander sind, woraus folgt, dass sie ${}0$ sind.

Zum Existenznachweis sei ${}u\in U$ der gemäß Fakt eindeutig bestimmte Punkt, in dem der Abstand von ${}v$ zu ${}U$ minimal wird. Sei

${}w=v-u\,.$

Es ist

${}\left\langle v-u,u'\right\rangle =0\,$

für jedes ${}u'\in U$ zu zeigen. Wir können ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ annehmen. Nehmen wir an, dass es ein ${}u'\in U$ mit

${}\left\langle v-u,u'\right\rangle =c\neq 0\,$

gibt, wobei wir ${}c$, indem wir eventuell ${}u'$ durch ${}-u'$ ersetzen, als negativ annehmen können. Es ist dann

$2\left\langle v-u,\lambda u'\right\rangle +\left\langle \lambda u',\lambda u'\right\rangle =2c\lambda +\lambda ^{2}\left\langle u',u'\right\rangle =\lambda {\left(2c+\lambda \left\langle u',u'\right\rangle \right)}\,,$

was für ${}\lambda$ positiv und hinreichend klein negativ ist. Dann ist aber

${}{\begin{aligned}\left\langle v-u+\lambda u',v-u+\lambda u'\right\rangle &=\left\langle v-u,v-u\right\rangle +2\left\langle v-u,\lambda u'\right\rangle +\left\langle \lambda u',\lambda u'\right\rangle \\&<\left\langle v-u,v-u\right\rangle \end{aligned}}$

im Widerspruch dazu, dass der Abstand (und damit das Abstandsquadrat) von ${}v$ zu ${}U$ in ${}u$ minimal wird.

$\Box$

Definition

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt und sei ${}U\subseteq V$ ein vollständiger Untervektorraum. Die Abbildung ${}p_{U}\colon V\rightarrow U$, die jedem Element ${}v\in V$ das ${}u\in U$ aus der nach Fakt eindeutigen Zerlegung ${}v=u+w$ mit ${}u\in U$ und ${}w\in U^{\perp }$ zuordnet, heißt orthogonale Projektion auf ${}U$.