Vektorraum/Tensorprodukt/Basen/Übergangsmatrix/Fakt

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ endlichdimensionale Vektorräume über ${}K$. Es seien ${}v_{1j},j\in J_{1},\ldots ,v_{nj},j\in J_{n}$, und ${}w_{1j},j\in J_{1},\ldots ,w_{nj},j\in J_{n}$, Basen von ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ mit den Basiswechselmatrizen

${}B_{i}=M_{{\mathfrak {w}}_{i}}^{{\mathfrak {v}}_{i}}={\left(a_{irs}\right)}_{1\leq r,s\leq \dim _{K}{\left(V_{i}\right)}}\,.$

Dann ist die Basiswechselmatrix (mit $J=J_{1}\times \cdots \times J_{n}$) zwischen den Basen

$v_{1j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{nj_{n}},\,(j_{1},\ldots ,j_{n})\in J\,\,{\text{ und }}\,\,w_{1j_{1}}\otimes _{}\cdots \otimes _{}w_{nj_{n}},\,(j_{1},\ldots ,j_{n})\in J$

des Tensorproduktes durch die ${}J\times J$-Matrix mit den Einträgen

${}c_{(j_{1},\ldots ,j_{n}),(k_{1},\ldots ,k_{n})}=a_{1j_{1}k_{1}}\cdots a_{nj_{n}k_{n}}\,$

beschrieben.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen