Vektorraum/Tensorprodukt/K und 0/Fakt/Beweis

Beweis

(1) folgt aus Fakt  (2).

(2). Die Skalarmultiplikation

$V\times K\longrightarrow V,\,(v,s)\longmapsto sv,$

ist multilinear, daher gibt es nach Fakt eine lineare Abbildung

$V\otimes K\longrightarrow V,\,v\otimes s\longmapsto sv.$

Diese ist surjektiv, da ${}v\otimes 1$ auf ${}v$ abgebildet wird. Ein Element im Tensorprodukt hat die Gestalt

${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}(v_{i}\otimes s_{i})=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}s_{i})(v_{i}\otimes 1)={\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}s_{i}v_{i}\right)}\otimes 1\,.$

Wenn dieses auf ${}0$ abgebildet wird, so ist also

${}\sum _{i=1}^{n}a_{i}s_{i}v_{i}=0\,$

und damit ist das Tensorelement auch ${}0$, die Abbildung ist also auch injektiv.

Zur bewiesenen Aussage