(1) folgt aus
Fakt (2).
(2). Die Skalarmultiplikation
-
ist
multilinear,
daher gibt es nach
Fakt
eine
lineare Abbildung
-
Diese ist
surjektiv,
da
auf
abgebildet wird. Ein Element im Tensorprodukt hat die Gestalt
-
![{\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}a_{i}(v_{i}\otimes s_{i})=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}s_{i})(v_{i}\otimes 1)={\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}s_{i}v_{i}\right)}\otimes 1\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68384587c40b55d1b710b2aa88ee451c5975b676)
Wenn dieses auf
abgebildet wird, so ist also
-
![{\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}a_{i}s_{i}v_{i}=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d00a99fd9009fb99421023687924f6da135673f)
und damit ist das Tensorelement auch
, die Abbildung ist also auch
injektiv.