Vektorraum/Untervektorraum/Dimensionsvergleich/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei ${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}$. Jede linear unabhängige Familie in ${}U$ ist auch linear unabhängig in ${}V$. Daher kann es aufgrund des Basisaustauschsatzes in ${}U$ nur linear unabhängige Familien der Länge ${}\leq n$ geben. Es sei ${}k\leq n$ derart, dass es in ${}U$ eine linear unabhängige Familie mit ${}k$ Vektoren gibt, aber nicht mit ${}k+1$ Vektoren. Es sei ${}{\mathfrak {u}}=u_{1},\ldots ,u_{k}$ eine solche Familie. Diese ist dann insbesondere eine maximal linear unabhängige Familie in ${}U$ und daher wegen Fakt eine Basis von ${}U$.

Zur bewiesenen Aussage