Vektorraum mit Skalarprodukt/Endomorphismus/Selbstadjungiert/Spektralsatz/Fakt/Beweis2

Beweis

Wir führen Induktion über die Dimension von . Nach Fakt  (4) besitzt einen Eigenwert mit dem zugehörigen Eigenraum

Nach Fakt  (1) ist das orthogonale Komplement dazu ebenfalls invariant, und es liegt eine direkte Summenzerlegung

vor. Wir wählen auf dem Eigenraum eine Orthonormalbasis. Die Einschränkung von auf ist ebenfalls selbstadjungiert und die Induktionsvoraussetzung angewendet auf liefert die Behauptung.