Verklebungsdatum/Vektorbündel/Trivialisierungen/Bemerkung

Typischerweise sind in der Definition die Vektorbündel aus (2) triviale Vektorbündel auf ${}U_{i}$, also ${}E_{i}=\mathbb {R} ^{r}\times U_{i}$. Die Isomorphismen aus (3) sind dann einfach durch bijektive lineare Abbildungen ${}\varphi _{ji}\colon \mathbb {R} ^{r}\rightarrow \mathbb {R} ^{r}$ gegeben, die stetig vom Basispunkt aus ${}U_{i}\cap U_{j}$ abhängen. Diese kann man kompakt durch stetige Abbildungen

$\varphi _{ji}\colon U_{i}\cap U_{j}\longrightarrow \operatorname {GL} _{r}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$

in die allgemeine lineare Gruppe beschreiben. Den Basispunkten wird also in stetiger Weise eine invertierbare ${}r\times r$-Matrix zugeordnet, wobei die Stetigkeit bedeutet, dass sämtliche Matrixeinträge stetige Funktionen sind. Man spricht von einer Matrixbeschreibung des Bündels. Die Kozykelbedingung bleibt bestehen.