Vollkommener Körper/Algebra/Endlichdimensional/Reduziert/Kähler/Fakt/Beweis

Beweis

Wenn reduziert ist, so liegt eine endliche Körpererweiterung vor, die wegen der Vollkommenheit des Grundkörpers separabel ist und deshalb nach dem Satz vom primitiven Element von einem Element erzeugt ist, sagen wir . Nach Fakt erzeugen und das Einheitsideal und somit folgt aus , dass sogar ist. Somit folgt die Aussage aus Fakt.

Es sei nun angenommen, dass nicht reduziert ist. Es ist zu zeigen, dass es nichttriviale Kählerdifferentiale gibt. Da eine lokale Algebra ist, ist ein Element darin entweder eine Einheit oder gehört zum maximalen Ideal. Zu einer Einheit , , ist ein Erweiterungskörper von . Indem wir so den Grundkörper vergrößern, können wir wegen Fakt annehmen, dass nur die Elemente aus Einheiten in sind. Dann ist

und die gehören zum maximalen Ideal . Indem wir die Restklassenabbildung

betrachten und Fakt heranziehen, können wir davon ausgehen, dass die Situation

vorliegt, wobei mindestens ein Erzeuger ist. Mit dem gleichen Lemma können wir modulo gehen und erhalten die Situation . Dafür zeigt Fakt, dass ist.