Vollständiger bipartiter Graph/3/Nicht planar/Beispiel

Der vollständige bipartite Graph ${}K_{3,3}$ ist nicht planar. Er besitzt ${}6$ Knotenpunkte und ${}9$ Kanten. Wenn er planar wäre, so müsste es nach der eulerschen Polyederformel ${}5$ Gebiete geben. Jedes dieser Gebiete wird durch einen Kreis berandet, und diese haben nach Fakt eine gerade Länge. Deshalb liegen an jedes Gebiet zumindest ${}4$ Kanten an. Da jede Kante nur an ${}2$ Gebieten beteiligt ist, braucht man zumindest ${}10$ Kanten, ein Widerspruch.