Würfeldrehungen/Drehung um Raumdiagonale und Seitenmittelpunktsachse/Induzierte Permutation/Aufgabe

Betrachte den Würfel

Es sei ${}\alpha$ diejenige Drehung am Würfel um die Achse durch die Eckpunkte ${}A$ und ${}G$, die den Eckpunkt ${}B$ auf ${}D$ schickt, und es sei ${}\beta$ die Halbdrehung um die vertikale Achse (also die Gerade, die durch den Mittelpunkt der Seitenfläche ${}A,B,C,D$ und den Mittelpunkt der Seitenfläche ${}E,F,G,H$ läuft).

a) Man gebe eine Wertetabelle für die Permutationen auf der Eckpunktmenge ${}\{A,B,C,D,E,F,G,H\}$, die durch ${}\alpha ,\beta ,\alpha \beta$ und ${}\beta \alpha$ bewirkt werden.

b) Bestimme die Drehachse von ${}\alpha \beta$ und von ${}\beta \alpha$ sowie die Ordnung dieser Drehungen.

c) Man gebe die Zykeldarstellung der von ${}\alpha ^{2}$ bewirkten Permutation auf der Eckpunktmenge an. Was ist ${}\alpha ^{1001}$?

d) Man betrachte die Permutation ${}\sigma$, die auf der Eckpunktmenge durch die Wertetabelle

${}x$	${}A$	${}B$	${}C$	${}D$	${}E$	${}F$	${}G$	${}H$
${}\sigma (x)$	${}B$	${}C$	${}D$	${}A$	${}G$	${}H$	${}E$	${}F$

gegeben ist. Gibt es eine Drehung des Würfels, die diese Permutation bewirkt? Berechne das Signum von ${}\sigma$.

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