Würfeldrehungen/Drehung um Raumdiagonale und Seitenmittelpunktsachse/Induzierte Permutation/Aufgabe/Lösung

a) Die Wertetabellen für die angegebenen Permutationen sind

${}x$	${}A$	${}B$	${}C$	${}D$	${}E$	${}F$	${}G$	${}H$
${}\alpha (x)$	${}A$	${}D$	${}H$	${}E$	${}B$	${}C$	${}G$	${}F$

${}x$	${}A$	${}B$	${}C$	${}D$	${}E$	${}F$	${}G$	${}H$
${}\beta (x)$	${}C$	${}D$	${}A$	${}B$	${}G$	${}H$	${}E$	${}F$

${}x$	${}A$	${}B$	${}C$	${}D$	${}E$	${}F$	${}G$	${}H$
${}\alpha \beta (x)$	${}H$	${}E$	${}A$	${}D$	${}G$	${}F$	${}B$	${}C$

${}x$	${}A$	${}B$	${}C$	${}D$	${}E$	${}F$	${}G$	${}H$
${}\beta \alpha (x)$	${}C$	${}B$	${}F$	${}G$	${}D$	${}A$	${}E$	${}H$

b) Die Drehachse von ${}\alpha \beta$ ist die Gerade durch die beiden Eckpunkte ${}D$ und ${}F$ und die Drehachse von ${}\beta \alpha$ ist die Gerade durch die beiden Eckpunkte ${}B$ und ${}H$ . Beides sind Dritteldrehungen, ihre Ordnung ist 3.

c) Aus der Wertetabelle für ${}\alpha$ kann man leicht diejenige für ${}\alpha ^{2}$ errechnen, und damit auch die Zykledarstellung. Diese ist

\langle B,E,D\rangle \langle C,F,H\rangle .

Die Ordnung von

{}\alpha

ist 3, daher ist

{}\alpha ^{1001}=\alpha ^{2}

.

d) ${}\sigma$ stimmt auf den unteren Eckpunkten ${}E,F,G,H$ mit der durch ${}\beta$ definierten Permutation überein. Würde ${}\sigma$ von einer Würfelbewegung ${}\gamma$ herrühren, so wäre ${}\beta \gamma ^{-1}$ die Identität auf der unteren Ebenen und müßte dann überhaupt die Identität sein. Dann wäre ${}\beta =\gamma$ , was aber wegen