Wachstum/e hoch x durch x^2+1/Aufgabe/Lösung

Die Ableitung ist

${}{\begin{aligned}f'(x)&={\frac {e^{x}(x^{2}+1)-e^{x}(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}\\&={\frac {x^{2}-2x+1}{(x^{2}+1)^{2}}}e^{x}\\&={\frac {(x-1)^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}}e^{x}.\end{aligned}}$

Wegen ${}e^{x}>0$ und ${}(x-1)^{2}\geq 0$ und ${}(x-1)^{2}>0$ für ${}x\neq 1$ ist die Ableitung nichtnegativ und hat nur für ${}x=1$ eine Nullstelle. Die Funktion ist also nach Fakt

streng wachsend.

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