Wachstum einer Population/Logistische Differentialgleichung/Beispiel

Es sei ${}p(t)$ die Größe einer Population zu einem Zeitpunkt ${}t$. Wie setzen voraus, dass die Populationsentwicklung differenzierbar ist; die Ableitung ${}p'(t)$ repräsentiert dann das (infinitesimale) Bevölkerungswachstum zum Zeitpunkt ${}t$. Den Quotienten

${}r(t)={\frac {p'(t)}{p(t)}}\,$

nennt man die Wachstumsrate zum Zeitpunkt ${}t$. Wir fragen uns, inwiefern man den Populationsverlauf aus der Wachstumsrate rekonstruieren kann. Die Wachstumsrate kann von der Zeit (Jahreszeit, Nahrungsvorkommen, Entwicklung von anderen Populationen etc.) abhängen, aber auch von der aktuellen Populationsgröße ${}p$. Die Zeitabhängigkeit der Wachstumsrate beruht auf äußeren Einflüssen, während die Abhängigkeit von der aktuellen Populationsgröße eine innere Dynamik ausdrückt. Sie beruht darauf, dass eine große Population sich hemmend auf die Fortpflanzung auswirkt.

Wir beschränken uns auf eine Situation, wo die Wachstumsrate nur von der Populationsgröße abhängt, nicht aber von sonstigen Einflüssen. Dann wird die Wachstumsrate durch eine Funktion ${}w(p)$ beschrieben, und die Wachstumsrate zum Zeitpunkt ${}t$ ist demnach durch ${}r(t)=w(p(t))$ gegeben. Die Wachstumsrate wirkt sich auf die Populationsentwicklung aus. Gemäß dem oben formulierten Zusammenhang gilt

${}p'(t)=p(t)\cdot r(t)=p(t)\cdot w(p(t))\,.$

Es liegt also eine Differentialgleichung der Form

${}p'=p\cdot w(p)\,$

vor, die zeitunabhängig ist, sodass insbesondere getrennte Variablen vorliegen (mit der Funktion ${}h(p)=p\cdot w(p)$). Bei konstanter Wachstumsrate

${}w(p)=a\,$

liegt die Differentialgleichung ${}p'=ap$ vor, deren Lösungen die Funktionen ${}ce^{at}$ sind. Das bedeutet exponentielles Wachstum.

Wenn wir die Wachstumsrate so ansetzen, dass es bei einer gewissen Populationsgröße ${}g$ kein Wachstum mehr gibt, und bei sehr kleiner Bevölkerung die Wachstumsrate maximal gleich ${}s$ ist, und dazwischen die Wachstumsrate linear von ${}p$ abhängt, so erhält man die Wachstumsrate

${}w(p)=s{\left(1-{\frac {1}{g}}p\right)}\,$

und die Differentialgleichung

${}p'=sp{\left(1-{\frac {1}{g}}p\right)}=sp-{\frac {s}{g}}p^{2}\,.$

Eine solche Differentialgleichung nennt man logistische Differentialgleichung. Gemäß dem Lösungsansatz für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen müssen wir eine Stammfunktion zu

${}{\begin{aligned}{\frac {1}{sp{\left(1-{\frac {1}{g}}p\right)}}}&={\frac {g}{s}}\cdot {\frac {1}{p(g-p)}}\\&={\frac {1}{s}}{\left({\frac {1}{p}}+{\frac {1}{g-p}}\right)}\end{aligned}}$

finden. Eine solche Stammfunktion ist

${}H(p)={\frac {1}{s}}(\ln p-\ln(g-p))={\frac {1}{s}}\ln {\frac {p}{g-p}}\,.$

Zur Berechnung der Umkehrfunktion ${}H^{-1}$ lösen wir die Gleichung

${}u={\frac {1}{s}}\ln {\frac {p}{g-p}}\,$

nach ${}p$ auf. Es ergibt sich

${}\exp(su)={\frac {p}{g-p}}\,$

und daraus

${}g\cdot \exp(su)=p+p\cdot \exp(su)\,$

und damit

${}p={\frac {g\cdot \exp(su)}{1+\exp(su)}}={\frac {g}{1+\exp(-su)}}\,.$

Da die Differentialgleichung zeitunabhängig ist, ist

${}p(t)={\frac {g}{1+\exp(-st)}}\,$

eine Lösung. Bei ${}t=0$ ist ${}p(0)={\frac {g}{2}}$, für ${}t\rightarrow +\infty$ strebt die Lösung gegen ${}g$ (die Grenzbevölkerung) und für ${}t\rightarrow -\infty$ gegen ${}0$.