Lösungen für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen
Es sei
-
![{\displaystyle {}y'=g(t)\cdot h(y)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1b84e6347ac7517fac67429e959222c6290a884)
eine
Differentialgleichung mit getrennten Variablen mit
stetigen Funktionen
-
und
-
wobei
keine Nullstelle besitze. Es sei
eine
Stammfunktion
von
und
eine Stammfunktion von
. Weiter sei
ein Teilintervall mit
.
Dann ist
eine
bijektive Funktion
auf sein Bild
und die
Lösungen
dieser Differentialgleichung haben die Form
-
![{\displaystyle {}y(t)=H^{-1}(G(t))\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f36ce13a515bdbf2ae52eabe6c510738e69e2a47)
Wenn zusätzlich die
Anfangsbedingung
-
gegeben ist, und wenn die Stammfunktionen die zusätzlichen Eigenschaften
und
erfüllen, so ist
-
![{\displaystyle {}y(t)=H^{-1}(G(t))\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a06da754edd7e66ef25c28fde45ea880d40cc37)
die eindeutige
Lösung des Anfangswertproblems.