Da stetig ist und keine Nullstelle besitzt, ist bzw.
nach dem Zwischenwertsatz
entweder stets positiv oder stets negativ, sodass
nach Fakt
streng monoton
und daher
nach Aufgabe
injektiv
(also bijektiv auf sein Bild)
ist.
Sei
wie angegeben. Dann ist nach
Fakt
und
Fakt
sodass in der Tat eine Lösung vorliegt.
Es sei nun eine differenzierbare Funktion, die die Differentialgleichung erfüllt. Daraus folgt
-
wobei wir die
Substitution
angewendet haben. Für die zugehörigen Stammfunktionen
(mit den unteren Integralgrenzen
bzw. )
bedeutet dies
,
also ist
.
Um die Anfangsbedingung zu erfüllen, kann man
bzw.
als untere Integralgrenzen wählen. Wir zeigen, dass dies die einzige Lösung ist. Es seien also
und
zwei Stammfunktionen zu und
und
zwei Stammfunktionen zu derart, dass sowohl
als auch
die Anfangsbedingung erfüllen. D.h. die beiden Funktionen stimmen zum Zeitpunkt überein. Da sich Stammfunktionen nur um eine Konstante unterscheiden, können wir
und
mit zwei Konstanten
ansetzen. Es gilt also einerseits
und andererseits
,
sodass
gilt, woraus wegen
sofort
folgt. Also ist
und somit wegen der Injektivität von auch
für alle .