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Wegintegral/Vektorfeld/Archimedische Spirale/Senkrechtes Feld/Aufgabe/Lösung
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<
Wegintegral
|
Vektorfeld/Archimedische Spirale/Senkrechtes Feld/Aufgabe
Es ist
∫
0
2
π
⟨
(
t
sin
t
−
t
cos
t
)
,
(
−
t
sin
t
+
cos
t
t
cos
t
+
sin
t
)
⟩
d
t
=
∫
0
2
π
−
t
2
sin
2
t
+
t
sin
t
cos
t
−
t
2
cos
2
t
−
t
sin
t
cos
t
d
t
=
∫
0
2
π
−
t
2
d
t
=
−
1
3
t
3
|
0
2
π
=
−
8
π
3
3
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\left\langle {\begin{pmatrix}t\sin t\\-t\cos t\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-t\sin t+\cos t\\t\cos t+\sin t\end{pmatrix}}\right\rangle dt&=\int _{0}^{2\pi }-t^{2}\sin ^{2}t+t\sin t\cos t-t^{2}\cos ^{2}t-t\sin t\cos tdt\\&=\int _{0}^{2\pi }-t^{2}dt\\&=-{\frac {1}{3}}t^{3}|_{0}^{2\pi }\\&={\frac {-8\pi ^{3}}{3}}.\,\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe