Start
Zufällige Seite
Anmelden
Einstellungen
Spenden
Über Wikiversity
Haftungsausschluss
Suchen
Wegintegral/Vektorfeld/Eindimensional/Weg/3/Aufgabe/Lösung
Sprache
Beobachten
Bearbeiten
<
Wegintegral
|
Vektorfeld/Eindimensional/Weg/3/Aufgabe
Es ist
γ
′
(
t
)
=
3
t
2
+
1
.
{\displaystyle {}\gamma '(t)=3t^{2}+1\,.}
Damit ist das Wegintegral gleich
∫
0
1
f
(
γ
(
t
)
)
γ
′
(
t
)
d
t
=
∫
0
1
(
(
t
3
+
t
−
5
)
2
−
4
(
t
3
+
t
−
5
)
+
1
)
(
3
t
2
+
1
)
d
t
=
∫
0
1
(
t
6
+
t
2
+
25
+
2
t
4
−
10
t
3
−
10
t
−
4
t
3
−
4
t
+
20
+
1
)
(
3
t
2
+
1
)
d
t
=
∫
0
1
(
t
6
+
2
t
4
−
14
t
3
+
t
2
−
14
t
+
46
)
(
3
t
2
+
1
)
d
t
=
∫
0
1
3
t
8
+
7
t
6
+
−
42
t
5
+
5
t
4
−
56
t
3
+
139
t
2
−
14
t
+
46
d
t
=
(
1
3
t
9
+
t
7
−
7
t
6
+
t
5
−
14
t
4
+
139
3
t
3
−
7
t
2
+
46
t
)
|
0
1
=
1
3
+
1
−
7
+
1
−
14
+
139
3
−
7
+
46
=
140
3
+
20
=
200
3
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{0}^{1}f(\gamma (t))\gamma '(t)dt&=\int _{0}^{1}{\left({\left(t^{3}+t-5\right)}^{2}-4{\left(t^{3}+t-5\right)}+1\right)}{\left(3t^{2}+1\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t^{6}+t^{2}+25+2t^{4}-10t^{3}-10t-4t^{3}-4t+20+1\right)}{\left(3t^{2}+1\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}{\left(t^{6}+2t^{4}-14t^{3}+t^{2}-14t+46\right)}{\left(3t^{2}+1\right)}dt\\&=\int _{0}^{1}3t^{8}+7t^{6}+-42t^{5}+5t^{4}-56t^{3}+139t^{2}-14t+46dt\\&=\left({\frac {1}{3}}t^{9}+t^{7}-7t^{6}+t^{5}-14t^{4}+{\frac {139}{3}}t^{3}-7t^{2}+46t\right)|_{0}^{1}\\&={\frac {1}{3}}+1-7+1-14+{\frac {139}{3}}-7+46\\&={\frac {140}{3}}+20\\&={\frac {200}{3}}.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe