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Wegintegral/x^3dx-yzdy+xz^2dz/(-t^2,t^3-1,t+2)/-1 bis 0/Aufgabe/Lösung
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<
Wegintegral
|
x^3dx-yzdy+xz^2dz/(-t^2,t^3-1,t+2)/-1 bis 0/Aufgabe
Es ist
γ
∗
ω
=
(
−
t
2
)
3
d
(
−
t
2
)
−
(
t
3
−
1
)
(
t
+
2
)
d
(
t
3
−
1
)
−
t
2
(
t
+
2
)
2
d
(
t
+
2
)
=
2
t
7
d
t
−
3
t
2
(
t
4
+
2
t
3
−
t
−
2
)
d
t
−
t
2
(
t
2
+
4
t
+
4
)
d
t
=
(
2
t
7
−
3
t
6
−
6
t
5
+
3
t
3
+
6
t
2
−
t
4
−
4
t
3
−
4
t
2
)
d
t
=
(
2
t
7
−
3
t
6
−
6
t
5
−
t
4
−
t
3
+
2
t
2
)
d
t
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\gamma ^{*}\omega &=(-t^{2})^{3}d(-t^{2})-(t^{3}-1)(t+2)d(t^{3}-1)-t^{2}(t+2)^{2}d(t+2)\\&=2t^{7}dt-3t^{2}(t^{4}+2t^{3}-t-2)dt-t^{2}(t^{2}+4t+4)dt\\&=(2t^{7}-3t^{6}-6t^{5}+3t^{3}+6t^{2}-t^{4}-4t^{3}-4t^{2})dt\\&=(2t^{7}-3t^{6}-6t^{5}-t^{4}-t^{3}+2t^{2})dt.\end{aligned}}}
Daher ist
∫
γ
ω
=
∫
−
1
0
(
2
t
7
−
3
t
6
−
6
t
5
−
t
4
−
t
3
+
2
t
2
)
d
t
=
(
1
4
t
8
−
3
7
t
7
−
t
6
−
1
5
t
5
−
1
4
t
4
+
2
3
t
3
)
|
−
1
0
=
−
(
1
4
+
3
7
−
1
+
1
5
−
1
4
−
2
3
)
=
−
3
7
+
1
−
1
5
+
2
3
=
−
45
+
105
−
21
+
70
105
=
109
105
.
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\int _{\gamma }\omega &=\int _{-1}^{0}(2t^{7}-3t^{6}-6t^{5}-t^{4}-t^{3}+2t^{2})dt\\&=({\frac {1}{4}}t^{8}-{\frac {3}{7}}t^{7}-t^{6}-{\frac {1}{5}}t^{5}-{\frac {1}{4}}t^{4}+{\frac {2}{3}}t^{3})|_{-1}^{0}\\&=-({\frac {1}{4}}+{\frac {3}{7}}-1+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {2}{3}})\\&=-{\frac {3}{7}}+1-{\frac {1}{5}}+{\frac {2}{3}}\\&={\frac {-45+105-21+70}{105}}\\&={\frac {109}{105}}.\end{aligned}}}
Zur gelösten Aufgabe