Wendepunkt/Dreimal stetig differenzierbar/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}f^{\prime \prime \prime }(x)>0$, der negative Fall wird genauso behandelt. Wegen der dreifachen stetigen Differenzierbarkeit ist ${}f^{\prime \prime \prime }$ stetig und somit gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass ${}f^{\prime \prime \prime }$ auf ganz ${}[x-\epsilon ,x+\epsilon ]$ positiv ist. Dann ist ${}f^{\prime \prime }$ nach Fakt streng wachsend und somit ist wegen ${}f^{\prime \prime }(x)=0$ die zweite Ableitung ${}f^{\prime \prime }$ auf ${}[x-\epsilon ,x[$ negativ und auf ${}]x,x+\epsilon ]$ positiv. Damit ist ${}f'$ auf ${}[x-\epsilon ,x[$ fallend und auf ${}]x,x+\epsilon ]$ wachsend und damit ist nach Fakt

${}f$ auf ${}[x-\epsilon ,x[$ konkav und auf ${}]x,x+\epsilon ]$ konvex. Es liegt also ein Wendepunkt vor.

Zur gelösten Aufgabe