Windschiefe Geraden/R^3/Abstand/Beispiel

Zwei (affine) Geraden ${}G,H\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ heißen windschief, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben und auch nicht parallel sind, ihre Richtungsvektoren also nicht linear abhängig sind. Dann erzeugen die Richtungsvektoren eine Ebene, und auf dieser Ebene steht ein (bis auf Streckung eindeutiger) Vektor ${}u$ senkrecht. Einen solchen normierten Vektor, den Normalenvektor, kann man mit dem Kreuzprodukt berechnen. Sei

${}G=P+\mathbb {R} v\,$

und

${}H=Q+\mathbb {R} w\,.$

Wir können die Situation verschieben und somit

${}Q=0\,$

annehmen. Sei

${}P={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\,.$

Das Quadrat des Abstandes zwischen zwei Punkten

${}P'={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{pmatrix}}\,$

und

${}Q'=t{\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}\,$

ist

${}{\begin{aligned}d(P',Q')^{2}&={\left(a_{1}+sv_{1}-tw_{1}\right)}^{2}+{\left(a_{2}+sv_{2}-tw_{2}\right)}^{2}+{\left(a_{3}+sv_{3}-tw_{3}\right)}^{2}\\&=a_{1}^{2}+s^{2}v_{1}^{2}+t^{2}w_{1}^{2}+2sa_{1}v_{1}-2ta_{1}w_{1}-2stv_{1}w_{1}+a_{2}^{2}+s^{2}v_{2}^{2}+t^{2}w_{2}^{2}+2sa_{2}v_{2}-2ta_{2}w_{2}-2stv_{2}w_{2}+a_{3}^{2}+s^{2}v_{3}^{2}+t^{2}w_{3}^{2}+2sa_{3}v_{3}-2ta_{3}w_{3}-2stv_{3}w_{3}\\&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+2s{\left(a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}\right)}-2t{\left(a_{1}w_{1}+a_{2}w_{2}+a_{3}w_{3}\right)}+s^{2}{\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\right)}+t^{2}{\left(w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}\right)}-2st{\left(v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}\right)}.\end{aligned}}$

Diesen Ausdruck kann man mit Mitteln der Analysis 2 interpretieren. Wir betrachten die durch die Geraden gegebenen Daten als fixierte Parameter, sodass ein reellwertiger funktionaler Ausdruck ${}f(s,t)$ in den beiden reellen Variablen ${}s$ und ${}t$ vorliegt, für den Extrema zu bestimmen sind. Die partiellen Ableitungen sind

${\frac {\partial f}{\partial s}}=2{\left(a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}\right)}+2s{\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}\right)}-2t{\left(v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}\right)}\,$

und

${\frac {\partial f}{\partial t}}=2{\left(a_{1}w_{1}+a_{2}w_{2}+a_{3}w_{3}\right)}+2t{\left(w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}\right)}-2s{\left(v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}\right)}\,.$

Wenn wir diese gleich ${}0$ setzen, so erhalten wir ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen in den Variablen ${}s$ und ${}t$. Mit der Cramerschen Regel erhält man

${}s={\frac {\det {\begin{pmatrix}-a_{1}v_{1}-a_{2}v_{2}-a_{3}v_{3}&-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}\\-a_{1}w_{1}-a_{2}w_{2}-a_{3}w_{3}&w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}&-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}\\-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}&w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}\end{pmatrix}}}}\,$

und

${}t={\frac {\det {\begin{pmatrix}v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}&-a_{1}v_{1}-a_{2}v_{2}-a_{3}v_{3}\\-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}&-a_{1}w_{1}-a_{2}w_{2}-a_{3}w_{3}\end{pmatrix}}}{\det {\begin{pmatrix}v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}&-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}\\-v_{1}w_{1}-v_{2}w_{2}-v_{3}w_{3}&w_{1}^{2}+w_{2}^{2}+w_{3}^{2}\end{pmatrix}}}}\,.$