Windschiefe Geraden/R^3/Abstand/Fußpunkte/Lineares Gleichungssystem/Beispiel

Zwei (affine) Geraden ${}G,H\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ heißen windschief, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben und auch nicht parallel sind, ihre Richtungsvektoren also nicht linear abhängig sind. Dann erzeugen die Richtungsvektoren eine Ebene, und auf dieser Ebene steht ein (bis auf Streckung eindeutiger) Vektor ${}u$ senkrecht. Einen solchen Vektor, den Normalenvektor, kann man mit dem Kreuzprodukt berechnen. Sei

${}G=P+\mathbb {R} v\,$

und

${}H=Q+\mathbb {R} w\,.$

Das lineare Gleichungssystem

${}P-Q=av+bw+cu\,$

besitzt eine eindeutige Lösung ${}(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}$. Dabei sind ${}P-av\in G$ und ${}Q+bw\in H$ die Lotfußpunkte, in denen nach Fakt der Abstand der Geraden angenommen wird. Dieser Abstand ist ${}\Vert {cu}\Vert$.